经典培优题

若凸(4n+2)边形A1A2A3…A4n+2(n为自然数)的每个内角都是30°的整数倍，且∠A1=∠A2=∠A3=90°，求n的值。

[解答]

∵∠A1=∠A2=∠A3=90°,

∴这3个角对应的外角和的和是270°.

∵任意多边形的外角和为360°，

∴这个多边形其它几个外角和为90°.

∵该多边形每个内角都是30的倍数，

∴它们的每个外角和也是30的倍数。

∵90°÷30°=3.

∴4n+2≤3+3

解得n≤1.

又∵4n+2为正整数，

∴n=1.

[解析]

由任意多边形的外角和为360°，可求得其它

个角的外角和为90°，由多边形的每个外角

和也是30的倍数可知另外最多还有3个外角

和，故此4n+2≤6。

[知识点清单]

多边形的内角及内角和

内角：多边形相邻两条边所组成的角叫做多边

形的内角，简称多边形的角.

多边形内角和定理：n边形的内角和是

(n一2).180(n≥3,且n为整数）.

多边形内角和的推导

内角和公式推导的基本方法是从n边形的一个

顶点出发引出(n-3)条对角线，将n边形分割为

(n一2)个三角形，这(n-2)个三角形的所有内角

之和正好是n边形的内角和，除此方法之外还

有其他几种方法，但这些方法的基本思路是一

样的，即将多边形转化为三角形，这也是研究

多边形问题常用的方法。

多边形的外角及外角和

外角：多边形一个角的一边与另一边的反向延

长线所组成的角，叫做多边形的外角.

多边形的外角和：一般地，在多边形的每个顶

点处分别取多边形的一个外角，这些外角的和

叫做多边形的外角和，多边形的外角和等于360°.

课后练习

已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是( )。

A.正五边形

B.正六边形

C.正七边形

D.正八边形

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