两个数列求和公式：平方和公式、立方和公式是什么？

在数学的数列求和试题中，

还会考到两个公式。

平方和公式，

立方和公式。

平方和公式：

从1 开始，前n个自然数平方的和。

（先平方，再相加）

1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+……+n²

=nx(n+1)x(2n+1)/6

G老师纯手写

立方和公式：

从1 开始，前n个自然数立方的和。

（先立方，再相加）

1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+……+n³

=(1+2+3+4+5+6+7+……+n)²

=n²x(n+1)²/4

注意，

①平方和与立方和公式运用时，一定要从1开始。

②遇见类似数列但不是从1开始，先补充完整计算后，再减去增添的部分。

这两个公式证明过程略微复杂，

在小学奥数中不需要掌握，

感兴趣的家长和同学可以自行网上搜索查阅学习。

一张图就能看懂的数学题（三）：算平方和立方和，从此不用记公式

上一期我们讲了整数求和，现在要进一步，讲平方和和立方和怎么算。

自然数列的立方和，前面有讲，就是分成块，拍扁了，再拼一起：

上面的图片只画到了3的立方，那么3以后呢：

无论画多少个，答案都是成立的。

算自然数列的平方和就要复杂一些。

之前我们学到过，奇数数列的和，正好等于一个平方数：

那么反过来，一个平方数，也能够写成一个奇数数列。

我们把从1到5的平方拆成奇数数列的和，用不同的颜色表示：

拆完后，红色方块有5组，黄色方块有4组，蓝色方块有3组，绿色方块有2组，橙色方块有1组。

同理，如果把从1到n的平方数拆开，长度为1的红色方块有n组，长度为3的黄色方块有n-1组，……，长度为2n-1的方块有1组。

下一步，我们把两个n的平方，和红色方块摆在一起，可以摆成一个长为2n+1，高为n的长方形：

再把两个n-1的平方，和黄色方块摆在一起，就是一个长为2n+1，高为n-1的长方形：

重复这个过程，最后是一个长为2n+1，高为1的长方形：

现在，我们有n个长为2n+1长方形，如果把它们摞在一起：

这个大长方形的横边长是2n+1，竖边长等于1+2+…+n。中间的彩色方块等于1到n的平方和，两边的白色方块又各等于1到n的平方和，所以整个长方形等于1到n的平方和的三倍：

这个方法，是由Martin Gardner和Dan Kalman各自独立发现的。

二位，请收下我的膝盖。

最后，给大家一道题目练下手：

像1，1，2，3，5，8，13，…这样，从第三项起每一项都等于前两项的和的数列，叫做斐波那契数列，那么斐波那契数列的平方和该怎么算？

要看上一期，点这里：《我来给你讲个数学家高斯的故事。。。呸，还是你自己看图吧》

MBA数学易错点之立方和公式

★（条件充分性判断）设x是非零实数，则x^3+1/x^3=18

（1）x+1/x=3

（2）x^2+1/x^2=7

让答案飞一会儿~~~

拿起你的笔，思考下，待你自己解答完再下拉看参考解析。

追梦路上，伴你同行，加油！

【必备公式】立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)[(a+b)^2-3ab]

【解题点睛】x^3+1/x^3=(x+1/x)(x^2-1+1/x^2)=(x+1/x)[(x+1/x)^2-3]

条件（1）充分；

条件（2）显然不充分，因为若a满足条件（2），则-a也满足，故x^3+1/x^3的值不唯一，

故选A.

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