「数学大揭秘」让你彻底搞懂自然对数和数学常数e！

自然对数和数学常数e是数学中非常重要的概念，涉及到微积分、复变函数、概率论、物理等多个领域。本文将详细介绍自然对数和数学常数e的定义、性质和应用，帮助读者深入理解这两个数学概念，并体会其在实际问题中的运用。

自然对数是以e为底的对数函数，用符号ln(x)表示。其中x是一个正实数（x>0），而e是一个数学常数，约等于2.718281828459。

自然对数的图像是一条光滑的曲线，在x轴上方，且当x=1时，y=0。自然对数的定义可以表示为：

ln(x) = ∫(1 to x) dt/t

其中，∫表示积分，t是自变量，dt/t表示函数的导数。这个式子表明，自然对数是一个积分函数，它的导数是1/x。因此，自然对数可以看做是一个反函数，把以e为底的指数函数e^x变成了一个由x映射到y=ln(x)的函数。

由此，我们可以考虑一个实际问题：在化学反应中，溶液中某种反应物的浓度随时间的变化规律可以用一个指数函数表示。

假设在初始时刻t=0时，该反应物的浓度为C0。现在我们想知道，在任意时刻t，该反应物的浓度与初始时刻的浓度相比变化了多少倍。这个问题可以通过自然对数来回答，即设该反应物的浓度随时间t的变化规律为C(t) = C0*e^(-kt)，其中k是一个正常数。则在任意时刻t，该反应物的浓度与初始时刻的浓度相比变化了多少倍，可以用自然对数来表示，即

ln[C(t)/C0] = ln(e^(-kt)) = -kt

这个式子表明，该反应物的浓度随时间的变化率是一个负的常数k，而在任意时刻t，其浓度与初始时刻的浓度相比变化了e的-k*t次方倍。

数学常数e是自然对数的底数，它的值约为2.718281828459。e的定义可以从复利计算中得出。假设有一个本金为1元，年利率为100%的银行账户，如果每年复利一次，那么在第n年的末尾，账户余额将会是1*(1+1/n)^n元。当n趋近于无穷大时，这个式子的极限值就等于e。因此，数学常数e可以表示为：

e = lim(n∞) (1+1/n)^n

这个式子表明，数学常数e是一个极限值，它可以用无穷级数来表示。具体来说，e可以表示为：

e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...

其中，0!表示0的阶乘，n!=1*2*3*...*n表示n的阶乘。这个无穷级数是发散的，但是前面的几项可以作为e的一个很好的近似值。

我们可以考虑一个实际问题：在统计学中，当样本容量非常大时，样本均值的分布会趋近于正态分布。而正态分布的密度函数又涉及到数学常数e的指数函数。

假设我们有一个样本容量为n的随机样本，其样本均值为X̄，样本标准差为S。如果我们对样本均值进行标准化处理，即令Z=(X̄-μ)/(S/√n)，其中μ是总体均值，则Z的分布会趋近于标准正态分布N(0,1)。这个标准正态分布的概率密度函数为：

f(z) = (1/√(2π)) * e^(-z^2/2)

其中√表示开方，π表示圆周率，e表示数学常数e。这个式子表明，标准正态分布的密度函数是一个关于z=0对称的钟形曲线，在z趋近于正无穷或负无穷时，密度趋近于0，在z=0时取得峰值。这个密度函数中涉及到了数学常数e的指数函数。

自然对数和数学常数e具有一些非常重要的性质，如下所示：

3.1、自然对数在定义域内是单调递增的，即ln(x1) < ln(x2) 当且仅当x1<x2.

这个性质表明，自然对数可以用来比较不同实数的大小关系，并且在这个过程中保持大小关系不变。

自然对数的导数是1/x，即d/dx ln(x) = 1/x

这个性质表明，自然对数是一个可微函数，并且其导函数可以用自然对数本身来表示。数学常数e是一个超越数，也就是说，它不是任何有理数（如整数、分数）的根。这个性质表明，数学常数e是一个非常特殊的数，它与其他任何有理数都存在本质区别。

3.2、自然对数和指数函数e^x是彼此的反函数，即ln(e^x) = x 和 e^(ln(x)) = x

这个性质表明，自然对数和指数函数是一对互逆的函数，它们可以相互转化和应用。

自然对数和数学常数e在数学和物理中有着广泛的应用。例如：

4.1微积分中的微分和积分都可以用自然对数和指数函数表示。

例如，考虑一个函数f(x) = ln[x/(x^2+1)]。我们可以用微积分的方法求出f(x)的导函数为f'(x) = 1/(x^2+1)-2x/[x(x^2+1)]。一般情况下，f(x)的导函数无法用有限次的简单函数表示，但是如果我们将f(x)表示为f(x) = ln[x/(x^2+1)] = ln(x)-ln(x^2+1)，则f(x)的导函数可以分别用自然对数和指数函数表示为：

f'(x) = d/dx [ln(x)] - d/dx [ln(x^2+1)]

= 1/x - 2x/(x^2+1)/(x^2+1)

= (x^2-1)/(x(x^2+1))^2

复变函数中的欧拉公式e^(iθ) = cos(θ) + isin(θ)就涉及到了数学常数e和三角函数的关系。

欧拉公式是数学中非常重要的公式之一，它将指数函数、三角函数和虚数单位i联系在了一起。这个公式可以用泰勒级数的方法推导出来，即：

这个式子表明，三角函数和指数函数之间存在本质联系，而数学常数e是这种联系的一个重要因素。

4.2 概率论中的指数分布函数和泊松分布函数都涉及到了自然对数和指数函数。

在概率论中，指数分布函数和泊松分布函数是非常重要的分布函数。其中，指数分布函数表示等待时间在一个确定的时间内发生事件的概率分布，而泊松分布函数表示在一个单位时间内事件的发生次数的概率分布。这两个分布函数都可以用自然对数和指数函数来表示。

泊松分布

举例来说，考虑指数分布函数，其概率密度函数为：

f(x) = λe^(-λx)

其中λ是一个正常数。这个概率密度函数可以通过自然对数和指数函数来表示：

f(x) = λe^(-λx) = λe^(ln[e^(-λx)])

= λe^(-λx)*e^(ln(λ))

4.3 物理中的放射性衰变、振荡电路等现象都可以用自然对数和指数函数来描述。

在物理中，放射性衰变、振荡电路等现象都涉及到了自然对数和指数函数。

举例来说，考虑一个放射性样品，其衰变速率随时间的变化规律可以用指数函数表示。假设该样品初始时刻的放射性核数为N0，其衰变速率为λ，则在任意时刻t，其放射性核数N(t)与初始时刻的核数N0的比值可以用自然对数和指数函数表示：

N(t)/N0 = e^(-λ*t)

这个式子表明，在任意时刻t，放射性核数与初始时刻的核数N0的比值是一个以指数函数衰减的形式变化的。

自然对数和数学常数e是数学中至关重要的概念，它们不仅具有理论上的意义，而且具有广泛的实际应用。通过了解自然对数和数学常数e的定义、性质和应用，可以扩展我们的数学知识，提高数学应用能力，进一步认识数学在各行各业中的重要作用。

手机控：善用这些功能，没准会变成最实用的

随着智能手机的普及应用，它不再只是一个简单的通讯工具。虽然手机的功能越来越丰富，但是依然有很多功能被我们忽略。小编今天就为大家盘点一下那些经常被大家忽略、又好用的功能吧。

手机防盗功能

很多厂商都在手机中添加了防盗功能，如果你忽略了这个功能，但一旦手机丢失，就只能自认倒霉。因此，我们使用手机的时候，记得开启防盗功能。

即使找不回手机，开启了手机防盗功能后还能远程锁定手机，这样，你的手机在别人手上也只是块砖。这个功能还能抹除手机里面的资料信息，甚至在设备联网的情况下看到其实时的定位。

OTG功能

OTG是On-The-Go的缩写，应用于各种不同的设备或移动设备间的联接，简单来说就是让手机直接连接USB接口的设备。只需一根USB OTG转接线，一边连接手机，另一边可以连接U盘、读卡器、鼠标、键盘、麦克风，甚至一个游戏手柄。

OTG功能适合经常外出办公的朋友，如今大部分智能手机都支持这个功能。

专业模式等拍照功能

现在手机拍照功能越来越丰富，但大部分用户只使用了自动拍照功能。其实在自动模式下，手机的拍照实力并不会完全显现出来，只有进入专业模式才能拍出更多有趣的照片，一般手机的拍照功能专业模式可玩性还是很高的。

只要你细心研究，HDR、ISO、曝光时间等这些可以调节的参数，完全可以拍出让你意想不到的漂亮照片。例如，如果你想拍到更多暗部的细节，又不想光线充足的地方过曝，可以使用HDR功能。此外，拍摄夜景时可以手动调低ISO，延长曝光时间来拍摄更纯净的照片。

应用权限管理

随着安卓版本的升级，很多手机可以关闭应用自启，并且控制应用的各种权限，然而这也是大家经常忽视的实用的功能。

开启权限管理不仅能够有效避免应用自启动，还能防止应用偷跑流量的情况，对于手机续航也有所帮助。掌握了这个功能，你就不用担心流氓软件横行了。

省电模式

为了解决电池续航这个难题，除了快充，大多数厂商都在手机中加入了省电模式。当你的手机不方便充电，而电量又不是很充足时，开启这个功能，系统会让你的手机再多坚持一会儿。

手机计算器

手机计算器功能可以说是非常普通的一项小功能，但也是非常实用。计算器除了可以进行简单的加减乘除运算，同时也可以进行特殊的科学计算，比如二次方根、π、sin、cos、tan、ln等公式运算。

大部分的安卓智能手机都具备这项功能，只不过有些厂商并未在使用说明中特别标注出来，需要我们去稍加研究一下。

日历新建事项

日历事项这个功能可以说出现的时间相当早，在功能机时代很多手机就已有这个功能，如今，我们手机中这个功能更加好用。

重要的人的生日、重要的纪念日我们可以设置一个当天的提醒，在有重要事情，工作繁忙或者是日程紧密的时候，你就会发现，日历中的这个功能有多好用。

无论是哪一个，只要利用的好，你会发现，这些功能会给你带来方便。别忽略手机的功能，没准这就是最实用的。

新华网广东频道综合太平洋电脑网、国产手机资讯等。

神奇的对数恒等式、万能的换底公式！最全对数性质硬科普！

我们从小学习数学运算的顺序是这样的：

①首先学习加法运算，然后学习加法运算的逆运算—减法运算；

a+b=c，c-b=a；

②其次学习乘法运算，然后学习乘法运算的逆运算—除法运算；

a×b=c，c÷b=a；

③再次学习乘方运算，然后学习乘方运算的逆运算—开方运算；

a^n=b，(n)√(b)=a；

③最后学习指数运算，然后学习指数运算的逆运算—对数运算。

a^n=b，log(a,b)=n。

值得注意的是，从逻辑上看，显然应该是先有指数，再有对数。然而，现实的历史发展却恰恰相反，对数确实是早于指数先出现的，这也成为数学史上的一个珍闻。今天我们就来认识一下对数。

对于指数运算：a^b=N；a称为底数，a＞0且a≠1；N称为幂，N＞0；b称为指数。

等价于对数运算：log(a,N)=b；a称为底数；N称为真数；b称为对数。

a^b=N↔log(a,N)=b

a＞0且a≠1，N＞0。

例如：2^3=8↔log(2,8)=3

根据对数定义，很容易得出以下结论：

log(a,a)=1，log(a,1)=0，log(a,a^2)=2

log(a,1/a)=-1，log(a,√a)=1/2

另外，还有以下两个定义：

①底数为10的对数称为常用对数，表示为：log(10,N)=lg(N)

②底数为自然常数e的对数称为自然对数，表示为：log(e,N)=ln(N)

接下来我们来复习对数的基本运算法则：

①log(a,M×N)=log(a,M)+log(a,N)

②log(a,M/N)=log(a,M)-log(a,N)

证明：log(a,M)=x，log(a,N)=y

M=a^x，N=a^y

M×N=(a^x)×(a^y)=a^(x+y)

M/N=(a^x)/(a^y)=a^(x-y)

log(a,M×N)=x+y=log(a,M)+log(a,N)

log(a,M/N)=x-y=log(a,M)-log(a,N)，证毕！

③推论：log(a,M1×M2×…×Mn)

=log(a,M1)+log(a,M2)+…+log(a,Mn)

④log(a,M^n)=n×log(a,M)

证明：

log(a,M^n)=log(a,M×M×…×M)

【n个M】

=log(a,M)+log(a,M)+…+log(a,M)

【n个log(a,M)】

=n×log(a,M)，证毕！

⑤log(a^b,M)=(1/b)×log(a,M)

证明：log(a^b,M)=x

M=(a^b)^x=a^(b×x)

b×x=log(a,M)

log(a^b,M)=x=(1/b)×log(a,M)

证毕！

⑥log(a^b,M^n)=(n/b)×log(a,M)

证明：log(a^b,M^n)

=n×log(a^b,M)

=n×[(1/b)×log(a,M)]

=(n/b)×log(a,M)，证毕！

⑦log(a,a^n)=n

⑧log(a^n,a)=1/n

证明：

log(a,a^n)=n×log(a,a)=n×1=n

log(a^n,a)=(1/n)×log(a,a)=(1/n)×1=1/n

证毕！

基本公式就先介绍到这里，接下来我们来讨论今天的主题：对数恒等式与换底公式。

我们首先来证明对数恒等式。

对数恒等式：a^[log(a,N)]=N

证明：log(a,N)=x，a^x=N

a^x=a^[log(a,N)]=N，证毕！

对数恒等式

对数恒等式a^[log(a,N)]=N有着非常重要的应用，利用这个恒等式，可以将任何正数x表示成指数与对数相结合的形式，而指对数的底数a可以为任何不等于1的正数。

x=a^[log(a,x)]=2^[log(2,x)]

=10^[lg(x)]=e^[ln(x)]

尤其是利用x=e^[ln(x)]的变换，可以很容易地求出一些复杂函数的导出，例如幂指函数f(x)=x^x。

f(x)=x^x=^x=e^[x×ln(x)]

具体求导的过程，我们下节课再讲。

接下来我们来证明换底公式。

换底公式：

log(a,N)=log(m,N)/log(m,a)

证明：log(a,N)=x，a^x=N

log(m,N)=log(m,a^x)=x×log(m,a)

log(a,N)=x=log(m,N)/log(m,a)

证毕！

换底公式

换底公式最强大之处在于可以将对数的底数换成任意底数。

log(a,b)=log(2,b)/log(2,a)

=lg(b)/lg(a)=ln(b)/ln(a)

利用换底公式

log(a,b)=lg(b)/lg(a)，我们进一步可以推出：

①log(a,b)×log(b,c)=log(a,c)

证明：log(a,b)×log(b,c)

=[lg(b)/lg(a)]×[lg(c)/lg(b)]

=lg(c)/lg(a)=log(a,c)，证毕！

②log(a,b)×log(b,a)=1

证明：log(a,b)×log(b,a)

=log(a,a)=1，证毕！

在计算器还没有普及之前，人们正是利用换底公式来计算对数值。我们首先制作了常用对数表，然后就可以将任何一个对数换底为常用对数，通过查表即可计算出对数值。

例如：log(2,3)=lg(3)/lg(2)

≈0.4771/0.3010≈1.585

常用对数表

另外，利用对数表，我们也可以很快比较两个指数的大小。

例如：比较2^300和3^200的大小

lg(2^300)=300×lg(2)≈300×0.3010=90.3

lg(3^200)=200×lg(3)≈200×0.4771=95.42

lg(2^300)＜lg(3^200)，2^300＜3^200

好了，今天就先聊到这里，大家下来后可以再自行证明以上公式，加深理解。

本文链接：https://www.lezhuanwang.net/kepu/76544.html『转载请注明出处』