这个问题先从最简单的二维平面说起：

 

二维平面中力的分解是一种简单的运算，力F可以沿着X轴和Y轴进行分解。

 

三维空间中也是一样，上图中的点p可以可以表示为OP=4x+5y+3z。

把这个概念扩展到n维空间，并把每根坐标轴想象为一个向量，得到下图：

图1

那么，上图中的点x（实际上是一个n维向量）可以表示为：

x=k1x1+k2x2+......+knxn，其中k1,k2,...,kn是坐标轴的坐标值。这个表达式就是所谓的线性空间，表示的意思就是对任意向量x在n维空间中进行分解，得到相应的坐标值。

那么，所谓的线性无关与线性相关又是什么意思呢？

图2

 

从上图看到，二维平面中任意一个点，都可以沿着X（1，0）和Y（0，1）轴进行分解，也可以按如下两个列向量进行分解：

 

但如果将X和Y轴换成X（1，0）和Y（2，0）轴：

 

我们看到，当b不等于0的时候，上图是无解的，也就是图2中点P(2,3)所形成的向量是无法沿着（1，0）和（2，0）进行分解的。事实上，（1，0）和（2，0）是同一个向量，都是X轴。这种情况下，图2中的向量OP就无法只沿着X轴分解了，因为无法得到它的竖直分量。

线性无关是指：k1x1+k2x2+......+knxn=0这个方程组只有0解，也就是k1,k2,...,kn必须等于0的时候这个方程才会等于0，这个时候我们就称向量x1,x2,x3,......xn是线性无关的。

再参考图1，所谓的线性无关，其实就是图1中n个向量不存在方向相同的向量，如果存在，则这n个向量就是线性相关的。

比如，假设x1和x2是（1，0）和（2，0）两个向量，则由k1x1+k2x2=0得到方程组：

k1+2k2=0

0k1+0k2=0

上述方程组存在非零解，所以（1，0）和（2，0）两个向量是线性相关的。

假设由向量x1,x2,x3,......xn向量组成矩阵A，则对于方程组Ax=0来说，明显就是当A的行列式不等于0的时候只有0解，也就是说明x1,x2,x3,......xn这n个向量线性无关；如果A的行列式等于0，则线性相关。

对于方程组Ax=b来说，当A的行列式不等于0的时候方程组有唯一解，也就是前面所说的向量分解x=k1x1+k2x2+......+knxn会得到一组确定的k1,k2,...,kn值，即可以得到向量x 的坐标值。而A的行列式不等于0表示的意思就是向量x1,x2,x3,......xn线性无关。

我们知道，一个行列式等于0，就意味着这个行列式存在相等或者成比例的两行或者两列，而两行或者两列成比例，恰恰说明这两个行向量或者列向量是方向相同的向量，也就是同一个向量。

简单说来：

线性无关就是图1中不存在两个方向相同的（基）向量；否则就是线性相关。

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